Il prodotto scalare tra i vettori
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Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Il prodotto scalare tra i vettori $\vec A$ e $\vec B$ è uguale a 10,0. Il modulo del loro prodotto vettoriale è 17,3. Calcola l’ampiezza dell’angolo tra i due vettori.
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Il prodotto scalare tra i vettori
Concetti chiave utilizzati:
1. Prodotto Scalare: Il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla formula
$[\vec{A} \cdot \vec{B} = AB cos(\theta)]$
dove $(A)$ e $(B)$ sono i moduli dei vettori e $(\theta)$ è l’angolo tra loro.
2. Prodotto Vettoriale: Il prodotto vettoriale tra due vettori è dato dalla formula
$[\vec{A} \times \vec{B} = AB sin(\theta)]$
dove la direzione è perpendicolare al piano dei vettori e il verso è determinato dalla regola della mano destra.
3. Relazione tra Seno e Coseno: La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo, ovvero
$[tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}].$
Ora, procediamo con la risoluzione dell’esercizio:
Dati dell’esercizio:
-$ (\vec{A} \cdot \vec{B} = 10.0)$ (prodotto scalare)
– $(|\vec{A} \times \vec{B}| = 17.3) $(modulo del prodotto vettoriale)
Passaggi della risoluzione:
1. Calcolo di (AB): Dalla formula del prodotto scalare, possiamo isolare (AB) come segue:
$[AB = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{cos(\theta)}]$
Poiché non conosciamo (theta), non possiamo calcolare (AB) direttamente da questa formula. Tuttavia, possiamo utilizzare le informazioni dal prodotto vettoriale.
2. Utilizzo del Prodotto Vettoriale: Dato che il modulo del prodotto vettoriale è $(|\vec{A} \times\vec{B}| = 17.3)$ e usando la formula del prodotto vettoriale, possiamo scrivere:
$[ABsin(\theta) = 17.3]$
Da cui possiamo anche isolare (AB) come:
$[AB = \frac{17.3}{sin(\theta)}]$
3. Uguaglianza delle Espressioni per (AB): Dato che (AB) ottenuto dal prodotto scalare e (AB) ottenuto dal prodotto vettoriale devono essere uguali, possiamo impostare le due espressioni di (AB) uguali tra loro e risolvere per $(\theta)$:
$[\frac{10.0}{cos(\theta)} = \frac{17.3}{sin(\theta)}]$
Questo implica che:
$[tan(\theta) = \frac{17.3}{10.0}]$
4. Calcolo di $(\theta)$: Ora possiamo trovare $(\theta)$ calcolando l’arcotangente del rapporto trovato sopra. Dopo aver calcolato l’arcotangente del rapporto $(17.3/10.0)$, troviamo che l’angolo $(\theta)$ è approssimativamente $(1.047)$ radianti. Quando convertiamo questo valore in gradi, otteniamo circa $(59.97^\circ)$.
Risultato:
L’ampiezza dell’angolo $(\theta)$ tra i due vettori è circa $(59.97^\circ)$.
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato le informazioni date sul prodotto scalare e sul prodotto vettoriale per stabilire una relazione tra le funzioni trigonometriche di $(\theta)$ (seno e coseno). Questo ci ha permesso di esprimere tale relazione in termini di tangente, che è il rapporto tra seno e coseno. Calcolando l’arcotangente di questo rapporto, siamo stati in grado di determinare l’angolo tra i due vettori.