Una centrifuga è un comune strumento di laboratorio che permette
Instagram. Tiktok Youtube Facebook
Categoria: FISICA | Cinematica e Dinamica Rotazionale
Una centrifuga è un comune strumento di laboratorio che permette di separare i componenti di diversa densità nelle sospensioni, facendo ruotare una certa quantità di sospensione con una grande velocità angolare Supponi che una centrifuga, dopo essere stata spenta continui a ruotare con una decelerazione angolare costante per 10.2 s prima di fermarsi.
a. Se la velocità angolare iniziale era di 3850 rad/min qual è il modulo della decelerazione angolare?
b. Quanti giri compie la centrifuga dopo essere stata spenta?
Introduzione all’argomento
La dinamica e la cinematica rotazionale sono due rami della fisica che si occupano di descrivere il movimento degli oggetti che ruotano, ossia che si muovono attorno a un punto o a un asse. Questi concetti sono l’estensione della cinematica e della dinamica lineare, applicati però al movimento rotatorio. La cinematica rotazionale riguarda lo studio del movimento angolare degli oggetti, in cui si considerano le grandezze che descrivono il moto di rotazione, analogamente a come la cinematica lineare studia il moto traslatorio.
La dinamica rotazionale studia le forze che causano il movimento rotatorio degli oggetti e la loro relazione con il moto angolare, proprio come la dinamica lineare studia le forze che causano il movimento traslatorio.
Le leggi della dinamica rotazionale sono un’estensione delle leggi di Newton applicate al moto rotatorio e si basano principalmente su concetti di momento di forza e momento di inerzia.
La cinematica rotazionale si occupa di descrivere il movimento di rotazione di un oggetto, utilizzando grandezze come la posizione angolare, la velocità angolare e l’accelerazione angolare. La dinamica rotazionale studia le forze (coppie) che causano il movimento rotatorio, introducendo concetti come il momento di forza, il momento di inerzia e la legge di Newton per la rotazione. In entrambi i casi, la rotazione è trattata come un’estensione del moto rettilineo, ma applicato a sistemi che ruotano attorno a un asse.
Per risolvere il problema, dobbiamo utilizzare le leggi del moto rotatorio, in particolare per il caso di una decelerazione angolare costante.
Dati:
- Tempo di fermata: $t = 10,2 \, \text{s}$
- Velocità angolare iniziale: $\omega_i = 3850 \, \text{rad/min}$
- La velocità finale: $\omega_f = 0 \, \text{rad/min}$, poiché la centrifuga si ferma.
Passaggio 1: Conversione della velocità angolare in unità di rad/s
Poiché i dati ci sono forniti in rad/min, prima di procedere con i calcoli è necessario convertire la velocità angolare iniziale in rad/s. La conversione si fa dividendo per 60 (dato che ci sono 60 secondi in un minuto):
$[
\omega_i = 3850 \, \text{rad/min} = \frac{3850}{60} \, \text{rad/s} \approx 64,17 \, \text{rad/s}
]$
a. Determinazione della decelerazione angolare
Per trovare la decelerazione angolare, possiamo utilizzare la formula del moto rotatorio con accelerazione angolare costante:
$[
\omega_f = \omega_i + \alpha t
]$
Dove:
- $\omega_f = 0 \, \text{rad/s}$ (la velocità finale)
- $\omega_i = 64,17 \, \text{rad/s}$ (la velocità iniziale)
- $t = 10,2 \, \text{s}$ (il tempo)
Poiché la velocità finale è zero, possiamo riscrivere l’equazione come:
$[
0 = \omega_i + \alpha t
]$
Isolando $\alpha$ (la decelerazione angolare):
$[
\alpha = -\frac{\omega_i}{t}
]$
Sostituendo i valori numerici:
$[
\alpha = -\frac{64,17 \, \text{rad/s}}{10,2 \, \text{s}} \approx -6,29 \, \text{rad/s}^2
]$
Quindi, il modulo della decelerazione angolare è:
$[
|\alpha| \approx 6,29 \, \text{rad/s}^2
]$
b. Calcolo dei giri compiuti dalla centrifuga
Per calcolare quanti giri compie la centrifuga prima di fermarsi, possiamo usare l’equazione che lega la posizione angolare finale, la posizione angolare iniziale, la velocità angolare iniziale, la velocità angolare finale e l’accelerazione angolare:
$[
\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha \theta
]$
Dove:
- $\omega_f = 0 \, \text{rad/s}$ (la velocità finale)
- $\omega_i = 64,17 \, \text{rad/s}$ (la velocità iniziale)
- $\alpha = -6,29 \, \text{rad/s}^2$ (la decelerazione angolare)
- $\theta$ è l’angolo percorso (in radianti).
Poiché la velocità finale è zero, l’equazione diventa:
$[
0 = \omega_i^2 + 2 \alpha \theta
]$
Isolando $\theta$:
$[
\theta = -\frac{\omega_i^2}{2 \alpha}
]$
Sostituendo i valori numerici:
$[
\theta = -\frac{(64,17)^2}{2 \cdot (-6,29)} \approx \frac{4123,23}{12,58} \approx 327,47 \, \text{rad}
]$
Poiché un giro completo corrisponde a $2\pi$ radianti, il numero di giri è:
$[
\text{Numero di giri} = \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{327,47}{2 \pi} \approx 52,14 \, \text{giri}
]$
Risultati:
a. Il modulo della decelerazione angolare è circa $6,29 \, \text{rad/s}^2$.
b. La centrifuga compie circa 52,14 giri prima di fermarsi.