Nel baseball la “palla curva” è una palla a cui viene impressa dal polso del lanciatore
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Categoria: FISICA | Cinematica e Dinamica Rotazionale
Nel baseball la “palla curva” è una palla a cui viene impressa dal polso del lanciatore una rotazione in avanti che le consente di spezzare la propria traiettoria, ottenendo una curvatura maggiore che trae in inganno il battitore, Per lanciare una palla curva un lanciatore imprime alla palla una velocità angolare di modulo 36,0 rad/s. Quando la palla raggiunge il guanto del ricevitore, 0,595 s più tardi, il modulo della sua velocità angolare è ridotto a 34,2 rad/s per effetto della resistenza dell’aria. Assumi che l’accelerazione angolare a della palla sia costante
a. Esprimi lo spostamento angolare e la velocità angolare della palla in funzione del tempo e calcola il valore di $(\alpha)$.
b. Traccia i grafici di O(t) e w(t). Qual è il significato geo- metrico di $(\alpha)$?
c. Quanti giri su se stessa ha fatto la palla prima di essere bloccata?
Introduzione all’argomento
La dinamica e la cinematica rotazionale sono due rami della fisica che si occupano di descrivere il movimento degli oggetti che ruotano, ossia che si muovono attorno a un punto o a un asse. Questi concetti sono l’estensione della cinematica e della dinamica lineare, applicati però al movimento rotatorio. La cinematica rotazionale riguarda lo studio del movimento angolare degli oggetti, in cui si considerano le grandezze che descrivono il moto di rotazione, analogamente a come la cinematica lineare studia il moto traslatorio.
La dinamica rotazionale studia le forze che causano il movimento rotatorio degli oggetti e la loro relazione con il moto angolare, proprio come la dinamica lineare studia le forze che causano il movimento traslatorio.
Le leggi della dinamica rotazionale sono un’estensione delle leggi di Newton applicate al moto rotatorio e si basano principalmente su concetti di momento di forza e momento di inerzia.
La cinematica rotazionale si occupa di descrivere il movimento di rotazione di un oggetto, utilizzando grandezze come la posizione angolare, la velocità angolare e l’accelerazione angolare. La dinamica rotazionale studia le forze (coppie) che causano il movimento rotatorio, introducendo concetti come il momento di forza, il momento di inerzia e la legge di Newton per la rotazione. In entrambi i casi, la rotazione è trattata come un’estensione del moto rettilineo, ma applicato a sistemi che ruotano attorno a un asse.
RISOLUZIONE
a. Spostamento angolare e velocità angolare in funzione del tempo
L’enunciato ci dice che l’accelerazione angolare $( \alpha )$ è costante. In questo caso, possiamo usare le equazioni del moto rotatorio uniformemente accelerato per descrivere la velocità angolare e lo spostamento angolare.
- Velocità angolare ($(\omega(t))$)
L’equazione della velocità angolare in un moto rotatorio uniformemente accelerato è:
$$
\omega(t) = \omega_0 + \alpha t
$$
dove:
- $( \omega_0 = 36,0 \, \text{rad/s} )$ è la velocità angolare iniziale,
- $( \alpha )$ è l’accelerazione angolare (incognita),
- ( t ) è il tempo.
- Spostamento angolare ($(\theta(t))$)
L’equazione dello spostamento angolare è:
$$
\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2
$$
dove ( \theta_0 = 0 ) (ipotizzando che la palla parta da un angolo di 0).
Determinazione dell’accelerazione angolare $( \alpha )$
Dal problema sappiamo che la velocità angolare cambia da $( \omega_0 = 36,0 \, \text{rad/s} ) a ( \omega_f = 34,2 \, \text{rad/s} )$ in un tempo di $( t = 0,595 \, \text{s} )$. Usiamo questa informazione per determinare $( \alpha )$.
Poiché la velocità angolare cambia linearmente nel tempo, possiamo usare la seguente formula per determinare $( \alpha ):$
$$
\omega_f = \omega_0 + \alpha t
$$
Sostituendo i valori conosciuti:
$$
34,2 = 36,0 + \alpha \cdot 0,595
$$
Risolvendo per ( \alpha ):
$$
\alpha = \frac{34,2 – 36,0}{0,595} = \frac{-1,8}{0,595} \approx -3,02 \, \text{rad/s}^2
$$
b. Tracciare i grafici di $(\theta(t))$ e $(\omega(t))$
Con $( \alpha = -3,02 \, \text{rad/s}^2 )$, possiamo ora scrivere le equazioni per $( \omega(t) ) e ( \theta(t) )$.
- Velocità angolare:
$$
\omega(t) = 36,0 – 3,02 t
$$
- Spostamento angolare:
$$
\theta(t) = 0 + 36,0 t + \frac{1}{2} (-3,02) t^2 = 36,0 t – 1,51 t^2
$$
I grafici di $( \omega(t) ) e ( \theta(t) )$ sono rispettivamente:
- Grafico di $( \omega(t) )$: Una retta decrescente con una pendenza di $( -3,02 \, \text{rad/s}^2 ).$
- Grafico di $( \theta(t) )$: Una parabola concava verso il basso, che rappresenta il movimento angolare in funzione del tempo.
Significato geometrico di $( \alpha )$
L’accelerazione angolare $( \alpha )$ rappresenta la variazione della velocità angolare nel tempo. In questo caso, poiché $( \alpha )$ è negativa, significa che la velocità angolare sta diminuendo, il che indica che la palla sta rallentando la sua rotazione a causa della resistenza dell’aria.
c. Numero di rotazioni effettuate dalla palla
Per calcolare quante rotazioni la palla ha fatto durante il suo volo, dobbiamo determinare il valore di $( \theta(t) )$ al tempo finale di $( t = 0,595 \, \text{s} )$ e poi convertire lo spostamento angolare in rotazioni.
Lo spostamento angolare finale è:
$$
\theta(0,595) = 36,0 \cdot 0,595 – 1,51 \cdot (0,595)^2
$$
Calcolando:
$$
\theta(0,595) = 21,42 – 0,536 \approx 20,88 \, \text{rad}
$$
Per convertire questo in rotazioni, dividiamo per ( 2\pi ) (poiché una rotazione corrisponde a ( 2\pi ) radi):
$$
\text{Numero di rotazioni} = \frac{20,88}{2\pi} \approx \frac{20,88}{6,28} \approx 3,32
$$
Quindi, la palla ha effettuato circa 3,32 rotazioni durante il suo volo.
Riassunto delle risposte:
- a. L’accelerazione angolare $( \alpha )$ è di circa $( -3,02 \, \text{rad/s}^2 )$.
- b. I grafici di $( \omega(t) )$ e $( \theta(t) )$ sono una retta decrescente e una parabola concava verso il basso, rispettivamente.
- c. La palla ha effettuato circa 3,32 rotazioni nel tempo di 0,595 s.
Nel baseball la “palla curva” è