Alle ore 3.00 la lancetta delle ore e quella dei minuti di un orologio sono disposte
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Categoria: FISICA | Cinematica e Dinamica Rotazionale
Alle ore 3.00 la lancetta delle ore e quella dei minuti di un orologio sono disposte in direzioni tali da formare un angolo di 90°. A quale ora, per la prima volta, dopo le 3.00, l’angolo fra le due lancette si riduce a 45°?
Introduzione all’argomento
La dinamica e la cinematica rotazionale sono due rami della fisica che si occupano di descrivere il movimento degli oggetti che ruotano, ossia che si muovono attorno a un punto o a un asse. Questi concetti sono l’estensione della cinematica e della dinamica lineare, applicati però al movimento rotatorio. La cinematica rotazionale riguarda lo studio del movimento angolare degli oggetti, in cui si considerano le grandezze che descrivono il moto di rotazione, analogamente a come la cinematica lineare studia il moto traslatorio.
La dinamica rotazionale studia le forze che causano il movimento rotatorio degli oggetti e la loro relazione con il moto angolare, proprio come la dinamica lineare studia le forze che causano il movimento traslatorio.
Le leggi della dinamica rotazionale sono un’estensione delle leggi di Newton applicate al moto rotatorio e si basano principalmente su concetti di momento di forza e momento di inerzia.
La cinematica rotazionale si occupa di descrivere il movimento di rotazione di un oggetto, utilizzando grandezze come la posizione angolare, la velocità angolare e l’accelerazione angolare. La dinamica rotazionale studia le forze (coppie) che causano il movimento rotatorio, introducendo concetti come il momento di forza, il momento di inerzia e la legge di Newton per la rotazione. In entrambi i casi, la rotazione è trattata come un’estensione del moto rettilineo, ma applicato a sistemi che ruotano attorno a un asse.
Dati e concetti
- La velocità angolare della lancetta delle ore è di $0,5^\circ$ per minuto, cioè $0,5^\circ$ ogni minuto. (Poiché in un’ora la lancetta delle ore compie $30^\circ$, quindi in un minuto si sposta di $ \frac{30}{60} = 0,5^\circ $).
- La velocità angolare della lancetta dei minuti è di $6^\circ$ per minuto, cioè $6^\circ$ ogni minuto (Poiché in un’ora la lancetta dei minuti compie $360^\circ$, quindi in un minuto si sposta di $ \frac{360}{60} = 6^\circ $).
Alle 3:00, le due lancette sono disposte in modo tale da formare un angolo di $90^\circ$. Questo è il punto di partenza del nostro problema. Dopo di che, vogliamo calcolare quando l’angolo tra le due lancette diventa $45^\circ$.
Passaggio 1: Posizione angolare delle lancette
Se $t$ è il tempo in minuti che è trascorso dopo le 3:00, la posizione angolare della lancetta delle ore (rispetto alla posizione delle 12:00) sarà:
$
\theta_{\text{ore}} = 90^\circ + 0,5^\circ t
$
(La lancetta delle ore parte da $90^\circ$ alle 3:00 e si sposta di $0,5^\circ$ per ogni minuto che passa).
La posizione angolare della lancetta dei minuti sarà:
$
\theta_{\text{minuti}} = 6^\circ t
$
(La lancetta dei minuti parte da $0^\circ$ alle 3:00 e si sposta di $6^\circ$ per ogni minuto che passa).
Passaggio 2: Differenza angolare tra le due lancette
L’angolo tra le due lancette è dato dalla differenza tra le loro posizioni angolari, ma considerando sempre il valore assoluto e ridotto nell’intervallo $[0^\circ, 360^\circ]$. Quindi l’angolo tra le due lancette, $\theta_{\text{angolo}}$, sarà:
$
\theta_{\text{angolo}} = \left| \theta_{\text{ore}} – \theta_{\text{minuti}} \right|
$
$
\theta_{\text{angolo}} = \left| (90^\circ + 0,5^\circ t) – (6^\circ t) \right|
$
$
\theta_{\text{angolo}} = \left| 90^\circ – 5,5^\circ t \right|
$
Passaggio 3: Risolvere per $\theta_{\text{angolo}} = 45^\circ$
Vogliamo che l’angolo tra le due lancette diventi $45^\circ$. Pertanto, risolviamo l’equazione:
$
\left| 90^\circ – 5,5^\circ t \right| = 45^\circ
$
Questa equazione può essere risolta in due casi:
Caso 1: $90^\circ – 5,5^\circ t = 45^\circ$
$
90^\circ – 45^\circ = 5,5^\circ t
$
$
45^\circ = 5,5^\circ t
$
$
t = \frac{45^\circ}{5,5^\circ} = 8,18 \, \text{minuti}
$
Caso 2: $90^\circ – 5,5^\circ t = -45^\circ$
$
90^\circ + 45^\circ = 5,5^\circ t
$
$
135^\circ = 5,5^\circ t
$
$
t = \frac{135^\circ}{5,5^\circ} = 24,55 \, \text{minuti}
$
Risultato
Il primo momento in cui l’angolo tra le due lancette è di $45^\circ$ dopo le 3:00 è a circa 8,18 minuti, che corrisponde a 3:08 e 11 secondi.
La seconda volta che l’angolo diventa $45^\circ$ è a circa 24,55 minuti, cioè 3:24 e 33 secondi.
Quindi, la prima volta che l’angolo tra le due lancette è $45^\circ$ dopo le 3:00 è a circa 3:08.
Alle ore 3.00 la lancetta delle ore e quella dei minuti di un orologio