Una carica q = 3.2 μC che si trova in
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Una carica q = 3.2 μC che si trova in prossimità di una distribuzione piana infinita di carica risente di una forza pari a 2,4 N. Determina il valore della densità superficiale di carica della lastra.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una carica q = 3,2 μC che si trova in prossimità di una distribuzione infinita di carica. So che, in questi casi, il campo elettrico è determinabile in funzione della densità superficiale della distribuzione. Conoscendo la forza elettrica che agisce sulla carica, possiamo dunque instaurare una relazione da cui esplicitare, per l’appunto, la densità di carica. Una volta fatto ciò, non ci resta altro che sostituire i valori numerici e fare i calcoli.
Per determinare il valore della densità superficiale di carica (\sigma) di una distribuzione piana infinita di carica, possiamo usare la relazione tra la forza che agisce su una carica posta vicino a una lastra infinita di carica e la densità superficiale di carica.
La forza per unità di carica (F/q) che agisce su una carica (q) posta vicino a una lastra di carica infinita è legata alla densità superficiale di carica dalla formula:
$$
E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}
$$
dove:
- (E) è il campo elettrico prodotto dalla lastra di carica,
- $(\sigma)$ è la densità superficiale di carica,
- (\epsilon_0) è la costante dielettrica del vuoto, che vale $( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 / \text{N} \cdot \text{m}^2 ).$
La forza (F) che agisce su una carica (q) nel campo elettrico (E) è data da:
$$
F = q \cdot E
$$
Sostituendo la formula per (E) nella relazione per la forza, otteniamo:
$$
F = q \cdot \frac{\sigma}{\epsilon_0}
$$
Ora, possiamo risolvere per (\sigma):
$$
\sigma = \frac{F \cdot \epsilon_0}{q}
$$
Dati:
- $( F = 2,4 \, \text{N} )$
- $( q = 3,2 \, \mu C = 3,2 \times 10^{-6} \, \text{C} )$
- $( \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 / \text{N} \cdot \text{m}^2 )$
Calcolo di (\sigma):
$$
\sigma = \frac{2,4 \, \text{N} \cdot 8,85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 / \text{N} \cdot \text{m}^2}{3,2 \times 10^{-6} \, \text{C}}
$$
$$
\sigma = \frac{2,4 \times 8,85 \times 10^{-12}}{3,2 \times 10^{-6}} = \frac{21,24 \times 10^{-12}}{3,2 \times 10^{-6}} = 6,64 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2
$$
Risultato:
La densità superficiale di carica della lastra è:
$$
\sigma = 6,64 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2
$$