Un’auto inizialmente ferma parte con
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Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Un’auto inizialmente ferma parte con un’accelerazione di 2,0 m/s2. Dopo un certo intervallo di tempo, la sua accelerazione diventa 1,0 m/s2. In totale percorre 41 m in 7,0 s. Calcola la velocità dell’auto.
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica”; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
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2) Moto Uniformemente Accelerato
Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.
Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri.
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In questo esercizio vi è un’auto inizialmente ferma che parte con un’accelerazione di 2,0 metri al secondo quadrato. Esprimiamo le distanze percorse dall’auto nelle due fasi di accelerazione in funzione del tempo di una delle due. In questa maniera possiamo imporre una relazione che ci permetta di ricavare i tempi relativi alle due fasi. Trovati questi valori, non ci resterà altro che sostituirli nelle corrette leggi della velocità e fare i calcoli.
So che il tempo totale è pari a 7,0 secondi, perciò posso scrivere la seguente relazione:
$$t_{tot}=t_1+t_2=7,0s$$
da cui ricavo:
$$t_1=7,0s-t_2,(1)$$
Scrivo la distanza percorsa nella prima fase di accelerazione, sapendo che l’auto parte da ferma:
$$\Delta x_1=\frac{1}{2}a_1t_1^2$$
sostituendo la $(1)$ ottengo:
$$\Delta x_1=\frac{1}{2}a_1t_1^2=\frac{1}{2}a_1(7,0s-t_2)^2$$
sostituendo i valori numerici di cui dispongo ricavo che:
$$\Delta x_1=49+t_2^2-14t_2$$
(non metto le unità di misura per non appesantire la scrittura)
Noto che l’auto comincia la seconda fase di accelerazione essendo già in moto. Ciò significa che non parte da ferma, ma ha una velocità iniziale pari a quella raggiunta nel primo tratto, ovvero:
$$v_{0_2}=v_{f_1}=v_{0_1}+a_1t_1=a_1t_1$$
sostituendo la $(1)$ ho che:
$$v_{0_2}=a_1(7,0s-t_2)$$
sostituendo i numeri:
$$v_{0_2}=14-2t_2$$
Scrivo ora la distanza percorsa nella seconda fase di accelerazione:
$$\Delta x_2=v_{0_2}t_2+\frac{1}{2}a_2t_2^2=$$
$$=(14-2t_2)t_2+\frac{1}{2}a_2t_2^2$$
sostituendo i numeri:
$$\Delta x_2=14t_2-2t_2^2+0,5t_2^2$$
Dal testo so che la distanza totale percorsa è pari a 41 metri, perciò:
$$\Delta x_1+\Delta x_2=41$$
ovvero:
$$49+t_2^2-14t_2+14t_2-2t_2^2+0,5t_2^2=41$$
da cui:
$$-0,5t_2^2=-8$$
dunque:
$$t_2=4,0s$$
Posso perciò ricavare anche il tempo della prima fase:
$$t_1=7,0s-4,0s=3,0s$$
Calcolo infine la velocità alla fine del secondo tratto applicando la legge della velocità:
$$v_{f_2}=v_{0_2}+a_2t_2=a_1t_1+a_2t_2=$$
$$=2,0\frac{m}{s^2}\times3,0s+1,0\frac{m}{s^2}+4,0s=10\frac{m}{s}$$