Un’auto in moto a velocità costante
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Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Un’auto in moto a velocità costante v0 si ferma in 20 m con accelerazione costante. Quanto vale la distanza di arresto se, a parità di accelerazione, la sua velocità iniziale è 2 v0?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica”; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
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2) Moto Uniformemente Accelerato
Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.
Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri.
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In questo esercizio vi è un’auto in moto a velocità costante che si ferma in 20 metri con accelerazione costante. Esprimiamo innanzitutto il tempo in funzione della velocità iniziale e dell’accelerazione. Sostituiamo poi quanto trovato all’interno dell’equazione oraria. In questo modo, possiamo ricavare la relazione che lega distanza di arresto e velocità iniziale. Fatto ciò, non ci resta altro che analizzare questa relazione (proporzionalità quadratica) e trarre le nostre conclusioni.
Scrivo la legge della velocità relativa al moto:
$$v=v_0+at$$
ricordando che, quando si ferma, $v=0$, ho che:
$$t=-\frac{v_0}{a}$$
Sostituisco quanto appena trovato all’interno dell’equazione oraria (ipotizzo che l’origine del sistema di riferimento coincida col punto in cui l’auto comincia a frenare, ovvero $x_0=0$):
$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$
sostituendo:
$$x=v_0\left(-\frac{v_0}{a}\right)+\frac{1}{2}a\left(-frac{v_0}{a}\right)^2=-\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{a}$$
Analizzando la relazione che ho appena ricavato noto che, a parità di accelerazione, la distanza di arresto è direttamente proporzionale al quadrato della velocità iniziale. Pertanto se questa raddoppia, la distanza di arresto quadruplicherà:
$$x_2=-\frac{v_{0_2}^2}{a}=-\frac{(2v_0)^2}{a}=4\left(-\frac{v_0^2}{a}\right)=$$
$$=4x=4\times20m=80m$$