Una piccola pallina di massa m è lanciata
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Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | CONSERVAZIONE QUANTITÀ DI MOTO
Una piccola pallina di massa m è lanciata su un piano orizzontale alla velocità v0. A un certo istante, la pallina incontra un piano inclinato, anch’esso di massa m, che è libero di scivolare senza attrito sul piano orizzontale. L’altezza del piano inclinato è h = 1,63 m. Quale deve essere il minimo valore di v0 affinché la pallina arrivi in cima al piano inclinato?
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
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2) Conservazione della Quantità di Moto
In questa lezione introduciamo una legge fondamentale che tornerà utile nel proseguo del capitolo e che ci spiega fenomeni come il rinculo di una pistola. Abbiamo già affrontato un principio di conservazione nel capitolo del lavoro e possiamo dire che, anche in questo caso, il concetto di base è abbastanza similare. Dopo averne fornito un breve enunciato, vedremo approfonditamente la dimostrazione, così da fornire una infarinatura a 360°. Fatta questa breve introduzione, partiamo subito.
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In questo esercizio vi è una piccola pallina di massa m che è lanciata su un piano orizzontale. Analizziamo per bene la situazione e scriviamo la quantità di moto iniziale e finale del sistema, stando ben attenti alle velocità della pallina e del piano inclinato. A questo punto, data l’assenza di forze esterne, possiamo imporre la conservazione della quantità di moto, così da ottenere una relazione in cui esplicitare la velocità finale in funzione di quella iniziale. Imponiamo infine la conservazione dell’energia meccanica e risolviamo l’equazione rispetto a $v_0$.
Analizzo la situazione: inizialmente la pallina si muove, mentre il piano inclinato è fermo, pertanto la quantità di moto iniziale del sistema è pari a:
$$p_0=p_{0_{pa}}=m_{pa}v_0$$
Alla fine, invece, la pallina arriva in cima al piano inclinato (e qui ha velocità nulla), mentre il piano inclinato comincia a scivolare senza attrito con la pallina sopra (la massa totale del sistema è pari alla somma di pallina e piano). Dunque, la qualità di moto finale del sistema è:
$$p_f=(m_{pa}+m_{pi})v_f$$
Dal momento che non vi sono forze esterne, impongo la conservazione della quantità di moto:
$$p_0=p_f$$
ovvero:
$$m_{pa}v_0=(m_{pa}+m_{pi})v_f$$
ricordando che $m_{pa}=m_{pi}=m$:
$$mv_0=2mv_f$$
da cui:
$$v_f=\frac{1}{2}v_0,(1)$$
Impongo ora la conservazione dell’energia meccanica, ricordando che inizialmente si muove solo la pallina a livello del piano orizzontale, mentre alla fine essa si trova a 1,63 metri di altezza e il piano inclinato scivola con la pallina sopra (la massa totale del sistema è pari alla somma di pallina e piano):
$$E_{m_0}=E_{m_f}$$
ovvero:
$$K_0=U_f+K_f$$
che equivale a scrivere:
$$\frac{1}{2}mv_0^2=mgh+\frac{1}{2}(2m)v_f^2$$
sostituendo la $(1)$ e semplificando le masse ottengo:
$$\frac{1}{2}v_0^2=gh+\frac{1}{4}v_0^2$$
da cui:
$$v_0=\sqrt{4gh}=$$
$$=\sqrt{4\times9,8\frac{m}{s^2}\times1,63m}=8,0\frac{m}{s}$$