Una palla lanciata verticalmente verso
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Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | CADUTA LIBERA
Una palla lanciata verticalmente verso l’alto raggiunge la massima altezza dopo 1,3 s dal lancio. In un secondo lancio, la palla raggiunge la metà dell’altezza precedente. Qual è la velocità iniziale nel secondo lancio?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica”; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
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2) Caduta Libera
In questa ultima lezione del capitolo, affrontiamo la caduta libera, ovvero un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato.
Analizzeremo tre casi specifici: caduta da un’altezza h con partenza da fermo, lancio verso il basso e lancio verso l’alto. Ovviamente, tutto ciò verrà preceduto da una brevissima parte generale, in cui descriviamo tutte le caratteristiche necessarie per comprendere al meglio l’argomento. È bene specificare che, essendo un caso particolare del moto uniformemente accelerato, è necessario conoscere a menadito quest’ultimo.
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In questo esercizio vi è una palla lanciata verticalmente vero l’alto che raggiunge l’altezza massima dopo poco più di 1 secondo. Imponiamo innanzitutto le condizioni del sistema di riferimento: origine nel punto di lancio, direzione verticale e verso positivo in alto. Determiniamo la velocità iniziale del primo lancio partendo dalla legge della velocità. Dalla stessa formula, esprimiamo poi il tempo di salita e lo sostituiamo all’interno dell’equazione oraria, in maniera tale da ottenere un relazione che leghi velocità iniziale e altezza massima. A questo punto, determiniamo la velocità iniziale del secondo lancio, ricordando che, in questo caso, l’altezza massima raggiunta corrisponde alla metà di quella precedente.
Impongo le condizioni del sistema di riferimento: origine nel punto di lancio, direzione verticale e verso positivo in alto.
Calcolo la velocità iniziale della prima palla partendo dalla legge della velocità:
$$0=v_{0_1}-gt_1$$
da cui:
$$v_{0_1}=gt_1=9,8\frac{m}{s^2}\times1,3s=13\frac{m}{s}$$
Ricavo ora il tempo necessario per salire fino all’altezza massima dalla legge della velocità, ricordando che, in corrispondenza dell’altezza massima, la velocità è nulla ($v=0$):
$$0=v_0-gt$$
da cui:
$$t=\frac{v_0}{g}$$
Sostituisco ora quanto trovato nella legge oraria, in maniera tale da ottenere un’equazione che metta in relazione altezza massima e velocità iniziale:
$$h_{max}=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$
sostituendo:
$$h_{max}=v_0\frac{v_0}{g}-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0}{g}\right)^2=\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}$$
da cui:
$$v_0=\sqrt{2gh_{max}}$$
Calcolo dunque la velocità iniziale della seconda pallina, ricovando che la sua altezza massima coincide alla metà della prima:
$$v_0=\sqrt{2gh_{max_2}}=\sqrt{2g\frac{h_{max_1}}{2}}=$$
$$=\frac{\sqrt{2gh_{max_1}}}{\sqrt{2}}=\frac{v_{0_1}}{\sqrt{2}}=\frac{13\frac{m}{s}}{\sqrt2}=9,2\frac{m}{s}$$