Un vettore a ha componenti
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Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Un vettore $\vec a$ ha componenti $a_x$ e $a_y$. La componente lungo l’asse y del vettore $\vec a + \vec b$ è il doppio di $a_y$ e la componente lungo l’asse x vale zero. Determina le componenti del vettore $\vec b$.
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un vettore $vec a$ ha componenti
Concetti chiave utilizzati:
1. Un vettore può essere scomposto nelle sue componenti lungo gli assi cartesiani.
2. La somma tra due o più vettori si ottiene sommando le loro componenti lungo gli assi cartesiani.
3. Un vettore può essere rappresentato come la somma delle sue componenti lungo gli assi cartesiani.
Dati dell’esercizio:
1. Componenti del vettore $(\vec{a}): (a_x) e (a_y).$
2. Componente lungo l’asse y del vettore $(\vec{a} + \vec{b}): (2a_y).$
3. Componente lungo l’asse x del vettore $(\vec{a} + \vec{b}): (0).$
Passaggi della risoluzione:
Passaggio 1: Esprimiamo le componenti del vettore $(\vec{b})$ in termini di $(b_x) e (b_y).$
Passaggio 2: Utilizzando il concetto chiave 2, possiamo scrivere le componenti del vettore somma $(\vec{a} + \vec{b})$ come:
$[ (a_x + b_x) \hat{x} + (a_y + b_y) \hat{y} ]$
Passaggio 3: Dall’esercizio sappiamo che la componente lungo l’asse y del vettore $(\vec{a} + \vec{b}) è (2a_y)$. Quindi:
$[ a_y + b_y = 2a_y ]$
Da cui possiamo ricavare:
$[ b_y = a_y ]$
Passaggio 4: Dall’esercizio sappiamo anche che la componente lungo l’asse x del vettore $(\vec{a} + \vec{b}) è (0)$. Quindi:
$[ a_x + b_x = 0 ]$
Da cui possiamo ricavare:
$[ b_x = -a_x ]$
Risultato:
Le componenti del vettore $(\vec{b})$ sono:
$[ b_x = -a_x ]$
$[ b_y = a_y ]$
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato le proprietà dei vettori e la loro scomposizione lungo gli assi cartesiani per determinare le componenti del vettore $(\vec{b})$. In particolare, abbiamo sfruttato le informazioni fornite sull’esercizio riguardo alle componenti del vettore somma $(\vec{a} + \vec{b})$ per risolvere il problema.