Un protone viaggia in un acceleratore lineare
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Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Un protone viaggia in un acceleratore lineare alla velocità iniziale di 1,8 x 106 m/s e per un tratto di 5,0 cm subisce un’accelerazione costante (mediante l’applicazione di un campo elettrico uniforme). Alla fine di tale tratto, si muove a una velocità doppia di quella iniziale. Quanto tempo è durata la fase di accelerazione?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica”; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
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2) Moto Uniformemente Accelerato
Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.
Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri.
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In questo esercizio vi è un protone che viaggia in un acceleratore lineare alla velocità di circa 1,8 milioni di metri al secondo. Innanzitutto, scriviamo la legge oraria del protone fissando come origine del sistema di riferimento il punto in cui esso subisce l’accelerazione. Da questa relazione esplicitiamo l’accelerazione, in maniera tale da poterla sostituire all’interno della legge della velocità. A questo punto, tramite opportuni passaggi matematici e ricordando che la velocità finale è pari al doppio di quella iniziale, ricaviamo il tempo in funzione di $v_0$ e della lunghezza $x$ del tratto.
Scrivo la legge oraria del protone fissando come origine del sistema di riferimento il punto in cui esso subisce l’accelerazione ($x_0=0$):
$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$
da cui ricavo che l’accelerazione è data da:
$$a=2\frac{x-v_0t}{t^2}$$
Sostituisco la relazione che ho appena trovato all’interno della legge della velocità:
$$v=v_0+at=v_0+2\frac{x-v_0t}{t^2}t=$$
$$=v_0+2\frac{x-v_0t}{t}$$
facendo il denominatore comune ricavo:
$$vt=v_0t+2(x-v_0t)=2x-v_0t$$
da cui ottengo che il tempo di accelerazione è pari a:
$$t=\frac{2x}{v+v_0}$$
sapendo che la velocità finale è il doppio di quella iniziale:
$$t=\frac{2x}{3v_0}=$$
$$=\frac{2\times5,0\times10^{-2}m}{3\times1,8\times10^6\frac{m}{s}}=1,9\times10^{-8}s$$