Un gruppo di cetacei si muove
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Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Un gruppo di cetacei si muove alla ricerca di prede. Il gruppo effettua un primo spostamento di 36 km verso nord con un angolo di 30° rispetto a ovest. Poi compie un secondo spostamento di 40 km verso sud. Calcola: il modulo dello spostamento totale; l’angolo che il vettore spostamento totale forma con l’asse x, verso est.
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un gruppo di cetacei si muove
Dati dell’esercizio:
1. Primo spostamento: 36 km verso nord con un angolo di 30° rispetto a ovest.
2. Secondo spostamento: 40 km verso sud.
Concetti chiave utilizzati:
– Le grandezze vettoriali hanno modulo, direzione e verso.
– I vettori possono essere scomposti nelle loro componenti lungo gli assi cartesiani.
– La somma di vettori si ottiene sommando le rispettive componenti.
– Il modulo del vettore risultante si trova con il teorema di Pitagora.
– L’angolo che un vettore forma con l’asse x si trova con le funzioni trigonometriche inverse.
Passaggi della risoluzione:
1. Scomposizione dei vettori nelle componenti cartesiane:
– Primo spostamento: dato che il movimento è verso nord ma con un angolo verso ovest, dobbiamo scomporre questo vettore nelle sue componenti lungo gli assi. L’angolo fornito è rispetto all’asse x negativo (ovest), quindi dobbiamo considerarlo come 180° – 30° = 150° rispetto all’asse x positivo (est).
$[ A_x = A cos(\theta) = -31.18 \text{ km} ]$
$[ A_y = A sin(\theta) = 18.00 \text{ km} ]$
– Secondo spostamento: questo è diretto verso il sud, che è l’asse y negativo. Quindi, la componente x è 0 e la componente y è -40 km
$[ B_x = 0 \text{ km} ]$
$[ B_y = -40.00 \text{ km} ]$
2. Somma delle componenti dei vettori: sommiamo le componenti x dei due vettori e le componenti y dei due vettori per trovare le componenti del vettore spostamento totale.
$[ R_x = A_x + B_x = -31.18 \text{ km} ]$
$[ R_y = A_y + B_y = -22.00 \text{ km} ]$
3. Calcolo del modulo del vettore risultante:
$[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = 38.16 \text{ km} ]$
4. Calcolo dell’angolo del vettore risultante: usiamo il teorema di Pitagora per trovare il modulo (o la lunghezza) del vettore spostamento totale.
$[ \theta = \text{arctan2}(R_y, R_x) = -144.79° ]$
Nota: un angolo negativo indica che il vettore punta nel quadrante sud-ovest. Per riferirsi al sistema standard degli angoli, possiamo sottrarre questo valore da 360°, ottenendo un angolo di $( 360 – 144.79 = 215.21° )$ rispetto all’asse x positivo.
Risultato:
– Il modulo dello spostamento totale è $( 38.16 ) km.$
– L’angolo che il vettore spostamento totale forma con l’asse x, verso est, è $( 215.21° ).$
Spiegazione:
Abbiamo scomposto i vettori di spostamento nelle loro componenti lungo gli assi x e y utilizzando le funzioni seno e coseno. Dopo aver sommato le componenti corrispondenti, abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per calcolare il modulo del vettore di spostamento totale. Infine, abbiamo usato la funzione arcotangente $(\arctan2)$ per determinare l’angolo che il vettore risultante forma con l’asse x. Questo angolo è stato calcolato rispetto all’asse x positivo (est) utilizzando la convenzione standard per gli angoli nel sistema di coordinate cartesiane.