Sono dati i vettori A = ax – 4y
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Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Sono dati i vettori $\vec A = a\hat x – 4\hat y$ e $\vec B = 2\hat x + b\hat y$. Il modulo del primo è A = 5, il prodotto scalare tra i due vettori è uguale a 2. Calcola i valori dei parametri a e b.
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Sono dati i vettori A = ax – 4y
Concetti Chiave Utilizzati:
1. Prodotto Scalare:
$[ \vec A \cdot \vec B = A B cos\theta = A_x B_x + A_y B_y ]$
2. Modulo di un Vettore:
$[ A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} ]$
3. Componenti di un Vettore:
$[\ vec A = A_x \hat x + A_y \hat y ]$
Dati dell’Esercizio:
-$ [ \vec A = a\hat x – 4\hat y ]$
– $[ \vec B = 2\hat x + b\hat y ]$
-$ [ A = 5 ]$
-$ [\vec A \cdot \vec B = 2 ]$
Obiettivo:
Calcolare i valori dei parametri (a) e (b).
Passaggi della Risoluzione:
1. Calcolo di (a):
Utilizzando la formula del modulo del vettore e sostituendo la componente (y) di $(\vec A)$ data, possiamo trovare la componente (x) di $(\vec A)$ (ossia (a)).
$[ A = \sqrt{a^2 + (-4)^2} ]$
Sostituendo $(A = 5)$, possiamo risolvere per (a).
2. Calcolo di (b):
Utilizzando la formula del prodotto scalare e sostituendo le componenti di $(\vec A) e (\vec B)$ date, possiamo trovare la componente (y) di $(\vec B)$ (ossia (b)).
$[ \vec A \cdot \vec B = a \cdot 2 + (-4) \cdot b = 2 ]$
Sostituendo i possibili valori di (a) possiamo trovare i corrispondenti valori di (b). Iniziamo con $(a = 3)$.
Calcoli:
1. Calcolo di (a):
Utilizziamo Wolfram per risolvere l’equazione per (a).
$[ \text{Solve}\left[\sqrt{a^2 + (-4)^2} = 5, a\right] ]$
$[ \Rightarrow a = -3 \text{ o } a = 3 ]$
2. Calcolo di (b):
Utilizziamo ora la formula del prodotto scalare e sostituendo il valore di (a), possiamo risolvere per (b).
$[ \vec A \cdot \vec B = a \cdot 2 + (-4) \cdot b = 2 ]$
Sostituendo i possibili valori di (a) possiamo trovare i corrispondenti valori di (b). Iniziamo con $(a = 3)$.
$[\text{Solve}[3 \cdot 2 – 4 \cdot b = 2, b] ]$
$[ \Rightarrow b = 1 ]$
Ora, consideriamo il caso in cui $(a = -3)$ e risolviamo per (b).
$[ \text{Solve}[-3 \cdot 2 – 4 \cdot b = 2, b] ]$
$[ \Rightarrow b = -2 ]$
Risultati:
– Se $(a = 3)$, allora $(b = 1).$
– Se $(a = -3)$, allora $(b = -2).$
Spiegazione:
– Abbiamo utilizzato il modulo del vettore $(\vec A)$ per determinare il valore assoluto della sua componente (x) (ossia (a)).
– Abbiamo poi utilizzato il prodotto scalare tra $(\vec A) e (\vec B)$ per determinare il valore della componente (y) di $(\vec B)$ (ossia (b)).
– Abbiamo considerato entrambi i possibili valori di (a) $(ossia (3) e (-3))$ per determinare i corrispondenti valori di (b).
In pratica, abbiamo applicato le formule e i concetti chiave dei vettori per determinare le componenti mancanti dei vettori dati nell’esercizio. Questo ci ha permesso di esplorare come le proprietà e le operazioni vettoriali possono essere utilizzate per risolvere problemi pratici in fisica.