Mario vuole stimare il valore
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Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | CADUTA LIBERA
Mario vuole stimare il valore dell’accelerazione di gravità. Lascia cadere da fermo un sasso da un’altezza di 25,3 m. L’incertezza sull’altezza è 0,5 m. Rileva poi con un cronometro il tempo di caduta: il risultato della misura è 2,3 s con un’incertezza di 0,1 s.
1. Calcola la migliore stima di g effettuata da Mario utilizzando i dati e l’incertezza assoluta associata a questo valore.
2. La stima di Mario è in accordo con il valore teorico di g?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica”; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
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2) Caduta Libera
In questa ultima lezione del capitolo, affrontiamo la caduta libera, ovvero un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato.
Analizzeremo tre casi specifici: caduta da un’altezza h con partenza da fermo, lancio verso il basso e lancio verso l’alto. Ovviamente, tutto ciò verrà preceduto da una brevissima parte generale, in cui descriviamo tutte le caratteristiche necessarie per comprendere al meglio l’argomento. È bene specificare che, essendo un caso particolare del moto uniformemente accelerato, è necessario conoscere a menadito quest’ultimo.
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In questo esercizio vi è Mario che vuole stimare il valore dell’accelerazione gravitazionale. Imponiamo innanzitutto le condizioni del sistema di riferimento: origine nel punto di lancio, direzione verticale e verso dall’alto verso il basso. Ricaviamo poi il valore attendibile della costante di gravità partendo dall’equazione oraria del sasso. A questo punto, è necessario ricordare le regole che portano alla determinazione dell’errore relativo di una grandezza data dal rapporto di altre grandezze. Solo in questa maniera possiamo infatti ottenere in seguito l’errore assoluto (o incertezza assoluta) e scrivere quindi in maniera corretta la stima effettuata da Mario.
Impongo le condizioni del sistema di riferimento: origine nel punto di lancio, direzione verticale e verso dall’alto verso il basso.
Scrivo la legge oraria del sasso in base alle condizioni appena fissate:
$h=h_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}gt^2$, da cui ricavo il valore attendibile dell’accelerazione gravitazionale:
$$\bar g=\frac{2\bar h}{\bar t^2}=\frac{2\times25,3m}{(2,3s)^2}=9,6\frac{m}{s^2}$$
Determino ora l’errore relativo delle singole grandezze sapendo che esso è dato dal rapporto tra errore assoluto e valore attendibile:
$$\epsilon_h=\frac{e_h}{\bar h}=\frac{0,5m}{25,3m}=0,01976$$
$$\epsilon_t=\frac{e_t}{\bar t}=\frac{0,1s}{2,3s}=0,04348$$
Calcolo ora l’errore relativo dell’accelerazione gravitazionale, ricordando che, essendo dato dal rapporto di altre grandezze, è pari alla somma dei singoli errori relativi (quello del tempo va considerato due volte perché la grandezza è elevata al quadrato, mentre quello dell’altezza rimane invariato perché la moltiplicazione della grandezza per un numero non comporta una sua modifica):
$$\epsilon_g=\epsilon_h+2\epsilon_t=$$
$$=0,01976+2\times0,04348=0,10672$$
A questo punto, posso ricavare l’errore assoluto dell’accelerazione gravitazionale:
$$\epsilon_g=\frac{e_g}{\bar g}$$
da cui:
$$e_g=\bar g\epsilon_g=9,6\frac{m}{s^2}\times0,10672=1,0\frac{m}{s^2}$$
Dunque la stima effettuata da Mario è pari a:
$$g=(\bar g\pm e_g)=(9,6\pm1,0)\frac{m}{s^2}$$
Formalmente, sarebbe più corretto mettere l’errore assoluto con una sola cifra significativa e arrotondare il valore attendibile in maniera tale da vere lo stesso numero di cifre decimali.
Ad ogni modo, la stima effettuata da Mario è in accordo con il valore teorico di g (9,81 metri al secondo quadrato), perché comprende tutti i valori che vanno da 8,6 a 10,6.