Mario affronta Gianni in una gara
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Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Mario affronta Gianni in una gara sui 100 m e gli concede un lieve vantaggio iniziale, ritardando la sua partenza. Gianni parte da fermo con accelerazione costante per 4,0 s, fino a raggiungere la velocità di 8,0 m/s che mantiene fino al traguardo. Due secondi dopo la partenza di Gianni, Mario parte con accelerazione costante per 3,0 s, fino a raggiungere una velocità di 9,0 m/s che mantiene fino al traguardo.
1. Chi vince tra Mario e Gianni?
2. Che distanza c’è tra il vincitore e il secondo arrivato nell’istante in cui il vincitore taglia il traguardo?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica”; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
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2) Moto Uniformemente Accelerato
Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.
Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri.
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In questo esercizio vi è Mario che affronta l’amico Gianni in una gara di velocità sui 100 metri. Fissiamo innanzitutto l’origine del sistema di riferimento. Consideriamo poi i singoli ragazzi, calcolando per ognuno l’accelerazione e lo spazio percorso durante la fase corrispondente. In questo modo, possiamo ricavare i tempi impiegati da ognuno di loro per completare la gara. A questo punto, non ci resta che confrontare i valori ottenuti e dedurre chi, tra Marco e Gianni, ha vinto. Determiniamo infine la distanza che separa il secondo classificato dal primo.
Fisso l’origine del sistema di riferimento sulla linea di partenza e impongo come istante iniziale quello in cui parte Gianni.
Considero la gara di Gianni.
Determino la sua accelerazione partendo dalla legge della velocità e sapendo che in 4,0 secondi raggiunge la velocità di 8,0 metri al secondo partendo da fermo:
$$v_g=v_{0_g}+a_gt_{g_1}$$
da cui:
$$a_g=\frac{v_g-v_{0_g}}{t_{g_1}}=\frac{8,0\frac{m}{s}-0}{4,0s}=2,0\frac{m}{s^2}$$
Determino ora lo spazio percorso da Gianni durante la fase di accelerazione:
$$x_{g_{1}}=\frac{1}{2}a_gt_{g_1}^2=$$
$$=\frac{1}{2}\times2,0\frac{m}{s^2}\times(4,0s)^2=16m$$
Ciò significa che i restanti $x_{g_2}=100m-16m=84m$ li percorre di moto rettilineo uniforme in un tempo pari a:
$$t_{g_2}=\frac{x_{g_2}}{v_g}=\frac{84m}{8,0\frac{m}{s}}=10,5s$$
E quindi termina la gara nell’istante $t_{g}=t_{g_1}+t_{g_2}=4,0s+10,5s=14,5s$
Considero ora la gara di Mario.
Determino la sua accelerazione partendo dalla legge della velocità e sapendo che in 3,0 secondi raggiunge la velocità di 9,0 metri al secondo partendo da fermo:
$$v_m=v_{0_m}+a_mt_{m_1}$$
da cui:
$$a_m=\frac{v_m-v_{0_m}}{t_{m_1}}=\frac{9,0\frac{m}{s}-0}{3,0s}=3,0\frac{m}{s^2}$$
Determino ora lo spazio percorso da Mario durante la fase di accelerazione:
$$x_{m_{1}}=\frac{1}{2}a_mt_{m_1}^2=$$
$$=\frac{1}{2}\times3,0\frac{m}{s^2}\times(3,0s)^2=13,5m$$
Ciò significa che i restanti $x_{m_2}=100m-13,5m=86,5m$ li percorre di moto rettilineo uniforme in un tempo pari a:
$$t_{m_2}=\frac{x_{m_2}}{v_m}=\frac{86,5m}{9,0\frac{m}{s}}=9,6s$$
E quindi, considerando che parte 2,0 secondi dopo Gianni, termina la gara nell’istante:
$$t_{m}=t_{ritardo}+t_{m_1}+t_{m_2}=$$
$$=2,0s+3,0s+9,6s=14,6s$$
Confrontando i due valori ottenuti, deduco che Gianni vince la gara in quanto taglia il traguardo nell’istante 14,5 secondi a discapito di Mario che lo taglia 0,1 secondi dopo.
Determino ora quanti metri mancano a Mario quando Gianni taglia il traguardo, calcolando lo spazio percorso nel successivo decimo di secondo che gli permette di terminare la gara, (ricordo che si muove a velocità costante):
$$\Delta x=v_m\Delta t=9,0\frac{m}{s}\times0,1s=0,9m$$
Nel decimo di secondo successivo, Mario raggiunge quindi il traguardo percorrendo gli ultimi 0,9 metri mancanti, ovvero la distanza che lo ha separato dal vincitore della gara.