La pressione atmosferica di Titano, la maggiore
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La pressione atmosferica di Titano, la maggiore delle lune di Saturno, è p(atm) = 1,5 x 10^5 Pa, mentre la sua accelerazione di gravità è g = 1,4 m/s^2. Su Titano esistono laghi di metano liquido, una sostanza che ha una densità di 423kg/m^3. Un lago di metano ha una profondità di 10 m: qual è la pressione sul fondo del lago?
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene data la pressione atmosferica di Titano, la maggiore delle lune di Saturno. Conoscendo l’accelerazione gravitazionale, la pressione atmosferica e la densità del metano, possiamo determinare la pressione sul fondo del lago applicando la legge di Stevino.
La pressione sul fondo di un lago di metano liquido dipende dalla pressione atmosferica e dalla pressione esercitata dalla colonna di liquido sopra di essa.
La pressione totale sul fondo di un lago si calcola come la somma della pressione atmosferica e della pressione dovuta alla colonna di liquido, secondo la formula:
$[
p_{\text{totale}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{liquido}}
]$
Dove:
- $( p_{\text{atm}} ) $ è la pressione atmosferica,
- $( p_{\text{liquido}} )$ è la pressione esercitata dalla colonna di metano liquido sopra il fondo del lago.
La pressione dovuta al liquido si calcola usando la formula:
$[
p_{\text{liquido}} = \rho g h
]$
dove:
- $( \rho )$ è la densità del metano liquido,
- ( g ) è l’accelerazione di gravità,
- ( h ) è la profondità del lago.
Dati:
- $( p_{\text{atm}} = 1,5 \times 10^5 \, \text{Pa} ),$
- $( \rho = 423 \, \text{kg/m}^3 ),$
- $( g = 1,4 \, \text{m/s}^2 ),$
- $( h = 10 \, \text{m} ).$
Passo 1: Calcolare la pressione dovuta alla colonna di metano:
$[
p_{\text{liquido}} = 423 \, \text{kg/m}^3 \times 1,4 \, \text{m/s}^2 \times 10 \, \text{m} = 5,922 \times 10^3 \, \text{Pa}
]$
Passo 2: Calcolare la pressione totale:
$[
p_{\text{totale}} = 1,5 \times 10^5 \, \text{Pa} + 5,922 \times 10^3 \, \text{Pa} = 1,55922 \times 10^5 \, \text{Pa}
]$
Risultato:
La pressione sul fondo del lago di metano è di circa:
$[
p_{\text{totale}} \approx 1,56 \times 10^5 \, \text{Pa}
]$