In una navicella spaziale in assenza di gravità
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Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In una navicella spaziale in assenza di gravità, due palline di ferro uguali e inizialmente ferme, di raggio 2,5 cm ciascuno, si attraggono con una forza di 1,5 x 10^-9 N. Trattiamo il problema come se tutta la massa della pallina fosse concentrata nel suo centro. La densità del ferro è di 7,9 g/cm3.
1. Calcola la massa delle due palline.
2. Qual è la distanza tra le due palline?
3. Quanto vale la loro velocità al momento del contatto?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono due palline di ferro ferme all’interno di una navicella spaziale in assenza di gravità. Tra di loro si genera una forza di attrazione che comporta la messa in moto delle due. Per risolvere il quesito bisogna fare appello a tutte le nostre conoscenze fisiche: nel primo punto bisogna infatti utilizzare la definizione di densità; nel secondo si applica la legge di gravitazione universale; nel terzo si sfruttano invece il secondo principio della dinamica e le equazioni del moto uniformemente accelerato. E’ uno degli esercizi più completi che si possano svolgere.
Risoluzione dell’Esercizio:
Per determinare la massa delle due palline mi rifaccio al concetto elementare di densità.
So infatti che la densità è data da:
$$d=frac{m}{V}$$
da cui ricavo che:
$$m=dV=dfrac{4}{3}pi r^3=7,9times10^3frac{kg}{m^3}times$$
$$timesfrac{4}{3}pi (2,5times10^{-2}m)^3=
0,52kg$$
Ora che ho la massa delle due palline posso determinare la distanza a cui si trovano ricavandola dalla legge di gravitazione universale:
$$F=Gfrac{m^2}{d^2}$$
da cui ricavo che:
$$d=sqrt{Gfrac{m^2}{F}}=sqrt{…}=1,1times10^{-1}m$$
(i calcoli non riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Applico il secondo principio della dinamica per ricavare l’accelerazione delle due palline:
$$a=frac{F}{m}=frac{1,5times10^{-9}N}{0,52kg}=2,9times10^{-9}frac{m}{s^2}$$
Scrivo ora le equazioni del moto uniformemente accelerato, tenendo in considerazione che, attraendosi reciprocamente, le due palline si incontreranno a metà strada, ovvero in corrispondenza di $frac{d}{2}$, e partono da ferme:
$$frac{d}{2}=d_0+v_ot+frac{1}{2}at^2$$
da cui:
$$frac{d}{2}=frac{1}{2}at^2$$
e:
$$v=v_0+at$$
da cui:
$$v=at$$
Esplicito il tempo dalla seconda equazione e la sostituisco direttamente nella prima equazione:
$$frac{d}{2}=frac{1}{2}afrac{v^2}{a^2}$$
semplificando $a$ ed esplicitando la velocità:
$$v=sqrt{ad}=sqrt{…}=1,8times 10^{-5} frac{m}{s}$$
(i calcoli non riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)