In una fontana si convoglia acqua alla velocità
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In una fontana si convoglia acqua alla velocità di 0,24 m/s in un condotta orizzontale con sezione di diametro 1,2 m che si restringe progressivamente. All’uscita, il diametro vale 16 cm. Sapendo che il getto d’acqua è espulso dall’altezza di 2,8 m e assumendo che l’acqua non si disperda, a quale distanza dalla base cade il getto?
Introduzione all’Argomento:
La fluidodinamica è la branca della meccanica dei fluidi che studia il moto dei fluidi e le cause che lo determinano. Essa si contrappone alla fluidostatica, pertanto è necessario introdurre nuovi concetti e nuove formule per risolvere gli esercizi (es. equazione di Bernoulli, equazione di continuità,…) e determinare le diverse proprietà del fluido che si sta analizzando (tra cui la velocità, la pressione, la densità o la temperatura). Per quanto possa sembrare “lontana” dalla nostra esperienza quotidiana, in realtà la fluidodinamica è una materia estremamente presente che ci aiuta a comprendere numerosi aspetti di idraulica, aerodinamica e discipline simili in cui ci imbattiamo ogni giorno.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una fontana in cui si convoglia acqua alla velocità di 0,24 m/s. Determiniamo innanzitutto la velocità dell’acqua all’uscita della condotta applicando l’equazione di continuità. Sapendo che, una volta fuoriuscito dal foro, il getto compie un moto parabolico, determiniamo tempo di caduta e gittata applicando le opportune formule studiate negli anni precedenti (sarà necessario ricordarsi le equazioni orarie relative ai moti rettilinei uniformi e uniformemente accelerati).
Per risolvere il problema, dobbiamo seguire alcuni passi: calcolare la velocità dell’acqua all’uscita della condotta, determinare il tempo di volo del getto d’acqua e infine calcolare la distanza orizzontale percorsa durante il volo.
1. Calcolo della velocità all’uscita
Utilizziamo il principio di continuità, che stabilisce che il prodotto della sezione e della velocità rimane costante lungo un tubo:
$$ A_1 v_1 = A_2 v_2 $$
dove:
- $( A_1 )$ è l’area della sezione iniziale,
- $( v_1 = 0,24 \, m/s )$ è la velocità iniziale,
- $( A_2 )$ è l’area della sezione finale,
- $( v_2 )$ è la velocità finale.
Calcolo delle aree
L’area della sezione iniziale ( A_1 ) è calcolata con:
$$ A_1 = \pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 $$
dove ( d_1 = 1,2 \, m ):
$$ A_1 = \pi \left(\frac{1,2}{2}\right)^2 = \pi (0,6)^2 = \pi \cdot 0,36 \approx 1,131 \, m^2 $$
L’area della sezione finale ( A_2 ) è calcolata con:
$$ A_2 = \pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 $$
dove ( d_2 = 0,16 \, m ):
$$ A_2 = \pi \left(\frac{0,16}{2}\right)^2 = \pi (0,08)^2 = \pi \cdot 0,0064 \approx 0,0201 \, m^2 $$
Utilizzo della continuità
Ora possiamo trovare ( v_2 ):
$$ A_1 v_1 = A_2 v_2 $$
$$ v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{1,131 \cdot 0,24}{0,0201} $$
Calcoliamo:
$$ v_2 \approx \frac{0,27144}{0,0201} \approx 13,52 \, m/s $$
2. Calcolo del tempo di volo
Per calcolare il tempo di volo, usiamo l’altezza da cui l’acqua viene espulsa. L’altezza ( h = 2,8 \, m ) determina il tempo di volo ( t ) secondo la formula:
$$ h = \frac{1}{2} g t^2 $$
Dove ( g \approx 9,81 \, m/s^2 ).
Risolviamo per ( t ):
$$ t^2 = \frac{2h}{g} = \frac{2 \cdot 2,8}{9,81} $$
Calcoliamo:
$$ t^2 = \frac{5,6}{9,81} \approx 0,5714 $$
$$ t \approx \sqrt{0,5714} \approx 0,756 \, s $$
3. Calcolo della distanza orizzontale
La distanza orizzontale ( d ) percorsa dal getto è data dalla formula:
$$ d = v_2 \cdot t $$
Dove ( v_2 ) è la velocità orizzontale all’uscita:
$$ d = 13,52 \, m/s \cdot 0,756 \, s $$
Calcoliamo:
$$ d \approx 10,22 \, m $$
Risultato finale
Il getto d’acqua cade a una distanza di circa 10,22 metri dalla base.