I vettori A e B hanno moduli
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Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
I vettori $\vec A$ e $\vec B$ hanno moduli rispettivamente pari a 11 e 7. Il loro prodotto scalare è 43. Calcola l’ampiezza dell’angolo formato dalle direzioni dei due vettori.
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – I vettori A e B hanno moduli
Concetto chiave 1:
Il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla formula:
$[ \vec A \cdot \vec B = A B cos\theta ]$
dove ($ A$ ) e ( $B$ ) sono i moduli dei vettori $( \vec A ) e ( \vec B )$ rispettivamente, e $( \theta )$ è l’angolo tra i due vettori.
Dati dell’esercizio:
1. Modulo del vettore $( \vec A ): ( A = 11 )$
2. Modulo del vettore $( \vec B ): ( B = 7 )$
3. Prodotto scalare tra $( \vec A ) e ( \vec B ): ( \vec A \cdot \vec B = 43 )$
Passaggio 1: Sostituire i dati forniti nella formula del prodotto scalare per determinare $( \theta )$.
$[ \vec A \cdot \vec B = A B cos\theta ]$
$[ 43 = 11 \times 7 cos\theta ]$
Da qui possiamo isolare $( cos\theta )$ per trovare l’ampiezza dell’angolo $( \theta )$.
$[ cos\theta = frac{43}{11 \times 7} ]$
$[ cos\theta \approx 0.558441 ]$
Passaggio 2: Utilizzando la formula inversa del coseno, possiamo trovare l’ampiezza dell’angolo $( \theta )$:
$[ \theta = arccos(0.558441) ]$
$[ \theta \approx 56.05^\circ ]$
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato il concetto chiave del prodotto scalare tra due vettori per determinare l’angolo tra i vettori $( \vec A ) e ( \vec B )$. Dopo aver sostituito i dati forniti nella formula del prodotto scalare, abbiamo isolato ($ cos\theta$ ) e successivamente calcolato l’ampiezza dell’angolo $( \theta )$ utilizzando la formula inversa del coseno.
Risposta finale:
L’ampiezza dell’angolo formato dalle direzioni dei vettori $( \vec A ) e ( \vec B )$ è di circa $( 56.05^\circ )$.