Due vettori a e b di modulo
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Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Due vettori $\vec a$ e $\vec b$ di modulo rispettivamente 4,0 cm e 6,0 cm formano un angolo di 120°. Determina il modulo del vettore $\vec c = \vec b – \vec a$.
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Due vettori a e b di modulo
Concetti chiave utilizzati:
1. Le grandezze vettoriali sono descritte in modo completo da modulo, direzione e verso.
2. I vettori possono essere scomposti lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
3. La somma tra due o più vettori si ottiene calcolando le componenti lungo gli assi x e y.
4. Il teorema di Pitagora può essere utilizzato per determinare il modulo di un vettore a partire dalle sue componenti.
Dati dell’esercizio:
– $( \vec{a} )$ ha modulo $( a = 4,0 ) cm $ e giace sull’asse orizzontale.
– $( \vec{b} )$ ha modulo $( b = 6,0 ) cm $ e forma un angolo di $( \theta = 120^\circ )$ con $( \vec{a} )$.
$( \vec{c} = \vec{b} – \vec{a} )$.
Passaggi della risoluzione:
1. Scomposizione dei vettori lungo gli assi cartesiani:
– Per il vettore $( \vec{a} )$ che giace sull’asse orizzontale:
$[ a_x = a = 4,0 \text{ cm} ]$
$[ a_y = 0 \text{ cm} ]$
– Per il vettore $( \vec{b} ):$
$[ b_x = b cos(120^\circ) = -3,0 \text{ cm} ]$
$[ b_y = b sin(120^\circ) \approx 5,196 \text{ cm} ]$
2. Calcolo delle componenti del vettore $( \vec{c} )$:
$[ c_x = b_x – a_x = -7,0 \text{ cm} ]$
$[ c_y = b_y – a_y = 5,196 \text{ cm} ]$
3. Determinazione del modulo del vettore $( \vec{c} )$:
$[ c = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} \approx 8,718 \text{ cm} ]$
Risultato:
Il modulo del vettore $( \vec{c} )$ risultante dalla differenza tra i vettori $( \vec{b} )$ e $( \vec{a} )$ è di circa $( 8,718 ) cm.$
Spiegazione:
Abbiamo iniziato scomponendo i vettori $( \vec{a} ) e ( \vec{b} )$ nelle loro componenti lungo gli assi x e y. Successivamente, abbiamo calcolato le componenti del vettore $( \vec{c} )$ sottraendo le componenti corrispondenti di $( \vec{a} )$ da $( \vec{b} )$. Infine, abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per determinare il modulo del vettore $( \vec{c} )$ a partire dalle sue componenti.