Calcola l’ampiezza dell’angolo
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Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Calcola l’ampiezza dell’angolo tra i vettori A = -3x + 2y e B = -2x – y
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Calcola l’ampiezza dell’angolo
Concetti Chiave Utilizzati:
1. Prodotto Scalare: Il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla formula:
$[ \vec{A} \cdot \vec{B} = A B cos\theta ]$
dove $( \theta )$ è l’angolo tra i vettori $( \vec{A} ) e ( \vec{B} )$.
2. Componenti di un Vettore: Un vettore $( \vec{A} )$ può essere rappresentato come:
$[ \vec{A} = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} ]$
dove $( A_x ) e ( A_y )$ sono le componenti lungo gli assi x e y, rispettivamente, e $( \hat{x} ) e ( \hat{y} )$ sono i versori lungo gli assi x e y.
3. Calcolo dell’Angolo tra Vettori: L’angolo tra due vettori può essere calcolato come:
$[ \theta = cos^{-1}\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB}\right) ]$
Dati dell’Esercizio:
– $( \vec{A} = -3\hat{x} + 2\hat{y} )$
– $( \vec{B} = -2\hat{x} – \hat{y} )$
Passaggi della Risoluzione:
1. Calcolo del Prodotto Scalare:
Utilizzando la formula del prodotto scalare e le componenti dei vettori fornite:
$[ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y ]$
Sostituendo i valori dati:
$ \vec{A} \cdot \vec{B} = (-3)(-2) + (2)(-1) = 6 – 2 = 4 ]$
2. Calcolo dei Moduli dei Vettori:
Utilizzando la formula del modulo di un vettore:
$[ A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} ]$
$[ B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} ]$
Sostituendo i valori dati:
$[ A = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} ]$
$[ B = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} ]$
3. Calcolo dell’Angolo tra i Vettori:
Utilizzando la formula per calcolare l’angolo tra due vettori:
$[ \theta = cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{13}\sqrt{5}}right) ]$
Il valore numerico dell’angolo $( \theta ) $tra i vettori $( \vec{A} ) e ( \vec{B} )$ è circa $( 60.26^\circ )$.
Risultato:
L’ampiezza dell’angolo tra i vettori $( \vec{A} = -3\hat{x} + 2\hat{y} ) $e $( \vec{B} = -2\hat{x} – \hat{y} )$ è di $( 60.26^\circ )$.
Spiegazione:
– Abbiamo calcolato il prodotto scalare $( \vec{A} \cdot \vec{B} )$ utilizzando le componenti dei vettori lungo gli assi x e y.
– Abbiamo calcolato i moduli dei vettori $( \vec{A} ) e ( \vec{B} )$ utilizzando le loro componenti.
– Abbiamo utilizzato il prodotto scalare e i moduli per calcolare l’angolo tra i due vettori utilizzando la formula del coseno dell’angolo tra due vettori.
– Infine, abbiamo ottenuto l’angolo in gradi utilizzando la funzione arcocoseno.
Questo angolo rappresenta la misura dell’angolo formato tra i due vettori nello spazio vettoriale. Ricorda che il prodotto scalare è massimo quando i vettori sono paralleli (angolo di 0 gradi) e minimo quando sono perpendicolari (angolo di 90 gradi). In questo caso, l’angolo di circa 60 gradi indica che i vettori sono inclinati l’uno rispetto all’altro, ma non sono né paralleli né perpendicolari.