Agnese e Giacomo fanno una gara su
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Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Agnese e Giacomo fanno una gara su una distanza di 100 m piani. Agnese accelera da ferma con accelerazione costante pari a 2,0 m/s2 per 3,0 s e poi completa la gara a velocità costante. Giacomo parte da fermo con accelerazione costante di 1,3 m/s2 per 4,0s e poi completa la gara a velocità costante.
1. Chi vince la gara?
2. Con quanti metri di distacco?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica”; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
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2) Moto Uniformemente Accelerato
Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.
Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri.
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In questo esercizio esercizio vi è una moto che raggiunge una velocità di 90 chilometri orari. Determiniamo la velocità iniziale del veicolo partendo dalla legge della velocità. Calcoliamo poi la distanza percorsa sostituendo quanto appena trovato all’interno della legge oraria e ipotizzando che l’origine del sistema di riferimento coincida col punto dove la moto comincia ad accelerare.
Determino la velocità che assume Agnese dopo la fase di accelerazione utilizzando la legge della velocità e ricordando che parte da ferma ($v_{0_a}=0$):
$$v_a=v_{0_a}+a_at_{a_1}=a_at_{a_1}=$$
$$=2,0\frac{m}{s^2}\times3,0s=6,0\frac{m}{s}$$
E la distanza da lei percorsa nello stesso arco di tempo (poniamo l’origine del sistema di riferimento nel punto in cui i due ragazzi partono, ovvero $x_{0_a}=x_{0_g}=0$):
$$x_a=v_{0_a}t_{a_1}+\frac{1}{2}a_at_{a_1}^2=\frac{1}{2}a_at_{a_1}^2=$$
$$=\frac{1}{2}\times2,0\frac{m}{s^2}\times(3,0s)^2=9,0m$$
Ciò significa che i rimanenti $\Delta x_a=(100-9,0)m=91m$ li percorre a velocità costante $v_a=6,0\frac{m}{s}$. Pertanto ci impiega un tempo pari a:
$$t_{a_2}=\frac{\Delta x_a}{v_a}=\frac{91m}{6,0\frac{m}{s}}=15s$$
Dunque, Agnese finisce la gara con un tempo totale di:
$$t_{a_{tot}}=t_{a_1}+t_{a_2}=3,0s+15s=18s$$
Procedo in maniera analoga per calcolare le diverse grandezze di Giacomo. Parto con la velocità che assume dopo aver accelerato:
$$v_g=v_{0_g}+a_gt_{g_1}=a_gt_{g_1}=$$
$$=1,3\frac{m}{s^2}\times4,0s=5,2\frac{m}{s}$$
Proseguo poi con la distanza percorsa nello stesso arco di tempo:
$$x_g=v_{0_g}t_{g_1}+\frac{1}{2}a_gt_{g_1}^2=\frac{1}{2}a_gt_{g_1}^2=$$
$$=\frac{1}{2}\times1,3\frac{m}{s^2}\times(4,0s)^2=10m$$
Ciò significa che i rimanenti $\Delta x_g=(100-10)m=90m$ li percorre a velocità costante $v_g=5,2\frac{m}{s}$. Pertanto ci impiega un tempo pari a:
$$t_{g_2}=\frac{\Delta x_g}{v_g}=\frac{90m}{5,2\frac{m}{s}}=17s$$
Dunque, Giacomo finisce la gara con un tempo totale di:
$$t_{g_{tot}}=t_{g_1}+t_{g_2}=4,0s+17s=21s$$
Confrontando i tempi, posso affermare che Agnese vince la gara tagliando il traguardo per prima dopo 18 secondi. Determino quindi a che distanza si trova Giacomo quando la sua compagna vince la gara. So che nei primi 4,0 secondi percorre 10 metri, pertanto mi resta da calcolare solo la distanza percorsa a velocità costante in 14 secondi:
$$x_g=5,2\frac{m}{s}\times14s=73m$$
Perciò, dopo 18 secondi Giacomo ha percorso in totale $(10+73)m=83m$, il che implica che Agnese ha vinto la gara con $(100-73)m=17m$ di vantaggio.
Il risultato potrebbe variare di qualche unità metrica. Ciò è dovuto alle innumerevoli approssimazioni sui calcoli effettuati durante lo svolgimento dell’esercizio.